ebab7d0da53c51438720d60c6e2e467c - /page/wikibook/entry.mu

Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Module indécomposable</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Module indécomposable</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><p>En <a href="Alg%C3%A8bre_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Algèbre générale">algèbre abstraite</a>, un <a href="Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau">module</a> est <b>indécomposable</b> s'il est non nul et ne peut pas être écrit comme une <a href="Somme_directe" title="Somme directe">somme directe</a> de deux sous-<a href="Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau">modules</a> non nuls<sup id="cite_ref-Jacobson_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Jacobson-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>L'indécomposabilité des modules est une notion plus faible que <a href="Module_simple" title="Module simple">leur simplicité</a> (qui est aussi parfois appelée <i>irréductibilité</i>).

</p><p>Une <a href="Somme_directe" title="Somme directe">somme directe</a> d'indécomposables est dite <b>complètement décomposable</b><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, notion qui est donc plus faible que d'être <a href="Module_semi-simple" title="Module semi-simple">semi-simple</a> (somme directe de modules simples).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Motivation">Motivation</h2></div>

<p>Dans de nombreuses situations, tous les modules auxquels on s'intéresse sont complètement décomposables ; les modules indécomposables peuvent alors être pensés comme les briques élémentaires à étudier. C'est le cas pour les modules sur un <a href="Corps_commutatif" title="Corps commutatif">corps</a> ou un <a href="Anneau_principal" title="Anneau principal">anneau principal</a>, et sous-tend la <a href="D%C3%A9composition_de_Jordan" class="mw-redirect" title="Décomposition de Jordan">décomposition de Jordan</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Corps">Corps</h3></div>

<p>Les modules sur les <a href="Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">corps</a> sont les <a href="Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espaces vectoriels</a>. Un espace vectoriel est indécomposable si et seulement si sa <a href="Dimension_d'un_espace_vectoriel" title="Dimension d'un espace vectoriel">dimension</a> est 1. Ainsi, tout espace vectoriel est complètement décomposable (en fait, semi-simple), avec une infinité de composantes si la dimension est infinie<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anneau_principal">Anneau principal</h3></div>

<p>Les modules de type fini sur des <a href="Anneau_principal" title="Anneau principal">anneaux principaux</a> sont classés par le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_des_facteurs_invariants" title="Théorème des facteurs invariants">théorème de structure des modules de type fini sur un anneau principal</a> : la <a href="D%C3%A9composition_primaire" title="Décomposition primaire">décomposition primaire</a> est une décomposition en modules indécomposables, donc tout module de type fini sur un anneau principal est complètement décomposable.

</p><p>Explicitement, les modules de la forme <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/p^{n}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/p^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29c0ca7d91ff685cdb1eefc799588b3469eb4a89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.314ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/p^{n}}" loading="lazy"></span> pour des <a href="Id%C3%A9al_premier" title="Idéal premier">idéaux premiers</a> <i>p</i> (y compris <span class="nowrap"><i>p</i> = 0</span>, qui donne <i>R</i>) sont indécomposables. Tout <i>R</i>-module de type fini est une somme directe de ceux-ci. Notez qu'il est simple si et seulement si <span class="nowrap"><i>n</i> = 1</span> (ou <span class="nowrap"><i>p</i> = 0</span>) ; par exemple, le <a href="Groupe_cyclique" title="Groupe cyclique">groupe cyclique</a> d'<a href="Ordre_(th%C3%A9orie_des_groupes)" title="Ordre (théorie des groupes)">ordre</a> 4, <b>Z</b>/4<b>Z</b>, est indécomposable mais non simple – il possède le sous-groupe 2<b>Z</b>/4<b>Z</b> d'ordre 2, mais ce dernier n'a pas de <a href="Compl%C3%A9ment_d'un_sous-groupe" title="Complément d'un sous-groupe">complément</a>.

</p><p>Sur l'anneau <b>Z</b> des <a href="Entier_relatif" title="Entier relatif">entiers</a> (qui est principal), les modules sont les <a href="Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">groupes abéliens</a>. Un <a href="Groupe_ab%C3%A9lien_de_type_fini" title="Groupe abélien de type fini">groupe abélien de type fini</a> est indécomposable si et seulement s'il est isomorphe à <b>Z</b> ou à un groupe cyclique d'ordre <a href="Nombre_primaire" title="Nombre primaire">primaire</a>. Tout <a href="Groupe_ab%C3%A9lien_de_type_fini" title="Groupe abélien de type fini">groupe abélien de type fini</a> est donc une <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_structure_des_groupes_ab%C3%A9liens_de_type_fini" title="Théorème de structure des groupes abéliens de type fini">somme directe d'un nombre fini de groupes abéliens indécomposables</a>.

</p><p>Il existe aussi des groupes abéliens indécomposables, comme le groupe (<b>Q</b>, +) des <a href="Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">rationnels</a> et les <a href="Groupe_de_Pr%C3%BCfer" title="Groupe de Prüfer"><i>p</i>-groupes de Prüfer</a> <b>Z</b>(<i>p</i><sup>∞</sup>) pour tout nombre premier <i>p</i>.

</p><p>Pour <i>n</i> positif, considérons l'anneau <i>R</i> de <a href="Matrice_(math%C3%A9matiques)" title="Matrice (mathématiques)">matrices</a> réelles <i>n</i>×<i>n</i>. Alors <i>K</i><sup><i>n</i></sup> est un <i>R-</i>module gauche (la multiplication scalaire est la <a href="Produit_matriciel" title="Produit matriciel">multiplication matricielle</a>). C'est à isomorphisme près le seul module indécomposable sur <i>R</i>. Tout <i>R</i>-module de gauche est une somme directe de (un nombre fini ou infini) de copies de ce module <i>K</i><sup><i>n</i></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Faits">Faits</h2></div>

<p>Tout module simple est indécomposable. La réciproque est fausse en général, comme le montre le deuxième exemple ci-dessus.

</p><p>En regardant l'anneau des endomorphismes d'un module, on a l'équivalence : le module est indécomposable si et seulement si l'anneau d'endomorphisme ne contient pas d'élément <a href="Idempotent" class="mw-redirect" title="Idempotent">idempotent</a> différent de 0 et 1<sup id="cite_ref-Jacobson_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-Jacobson-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. (Si <i>f</i> est un tel endomorphisme idempotent de <i>M</i>, alors <i>M</i> est la somme directe de ker(<i>f</i>) et im(<i>f</i>).)

</p><p>Un module de <a href="Longueur_d'un_module" title="Longueur d'un module">longueur</a> finie est indécomposable si et seulement si son anneau d'endomorphismes est <a href="Anneau_local" title="Anneau local">local</a>. Le <a href="Lemme_de_Fitting" title="Lemme de Fitting">lemme de Fitting</a> fournit des enseignements plus précis.

</p><p>Dans la situation de longueur finie, la décomposition en indécomposables est particulièrement utile, grâce au <a href="Longueur_d'un_module#Propriétés" title="Longueur d'un module">théorème de Krull-Schmidt</a> : tout module de longueur finie peut être écrit comme une somme directe d'un nombre fini de modules indécomposables, et cette décomposition est essentiellement unique<sup id="cite_ref-Jacobson2009115_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Jacobson2009115-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2></div>

<div style="font-size:85%; padding-left:1.6em; margin:0.3em 0;"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé <span class="">« <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Indecomposable_module?oldid=1048796925">Indecomposable module</a> » <small>(<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Indecomposable_module?action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</div>

<li id="cite_note-Jacobson-1"><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Jacobson2009"><span class="ouvrage" id="Nathan_Jacobson2009"><a href="Nathan_Jacobson" title="Nathan Jacobson">Nathan <span class="nom_auteur">Jacobson</span></a>, <cite class="italique">Basic algebra</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 2, Dover, <time>2009</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=4WU_AwAAQBAJ&pg=PA111">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 111<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Basic+algebra&rft.pub=Dover&rft.aulast=Jacobson&rft.aufirst=Nathan&rft.date=2009&rft.volume=2&rft.pages=111&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D4WU_AwAAQBAJ%26pg%3DPA111&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AModule+ind%C3%A9composable"></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Clifton_Faith2004"><span class="ouvrage" id="Carl_Clifton_Faith2004"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Carl Clifton Faith, <cite class="italique" lang="en">Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra</cite>, <a href="American_Mathematical_Society" title="American Mathematical Society">AMS</a>, <time>2004</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=H1TzBwAAQBAJ&pg=PA167">lire en ligne</a>)</small><span class="lang-en" lang="en">, « Completely indecomposable modules and the the Krull-Schmidt-Azumaya theorem »</span>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 167<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Rings+and+Things+and+a+Fine+Array+of+Twentieth+Century+Associative+Algebra&rft.atitle=Completely+indecomposable+modules+and+the+the+Krull-Schmidt-Azumaya+theorem&rft.pub=AMS&rft.au=Carl+Clifton+Faith&rft.date=2004&rft.pages=167&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DH1TzBwAAQBAJ%26pg%3DPA167&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AModule+ind%C3%A9composable"></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Jacobson2009">Jacobson 2009</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 111, commentaires après Prop. 3.1.</span>

</li>

<li id="cite_note-Jacobson2009115-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Jacobson2009115_4-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Jacobson2009">Jacobson 2009</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 115. </span>

</li>

</ol></div>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de l’algèbre</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2025-03-22" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Module_ind%C3%A9composable&oldid=224143586">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>